2 bài toán sau đây được trích từ sách Liber Abacci do Fibonacci viết vào năm 1202. Đây là những bài toán mẫu mực dẫn đến khảo sát dãy số Fibonacci.

Bài toán số con thỏ

"Một đôi thỏ (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) cứ mỗi tháng đẻ được một đôi thỏ con (cũng gồm một thỏ đực và thỏ cái); một đôi thỏ con, khi tròn 2 tháng tuổi, sau mỗi tháng đẻ ra một đôi thỏ con, và quá trình sinh nở cứ thế tiếp diễn. Hỏi sau n tháng có bao nhiêu đôi thỏ, nếu đầu năm (tháng Giêng) có một đôi thỏ sơ sinh?

Trong hình vẽ trên, ta quy ước:

• Cặp thỏ nâu là cặp thỏ có độ tuổi 1 tháng.
• Cặp thỏ được đánh dấu (màu đỏ và màu xanh) là cặp thỏ có khả năng sinh sản.

Nhìn vào hình vẽ trên ta nhận thấy:

• Tháng Giêng và tháng Hai: Chỉ có 1 đôi thỏ.
• Tháng Ba: đôi thỏ này sẽ đẻ ra một đôi thỏ con, do đó trong tháng này có 2 đôi thỏ.
• Tháng Tư: chỉ có đôi thỏ ban đầu sinh con nên đến thời điểm này có 3 đôi thỏ.
• Tháng Năm: có hai đôi thỏ (đôi thỏ đầu và đôi thỏ được sinh ra ở tháng Ba) cùng sinh con nên ở tháng này có 2 + 3 = 5 đôi thỏ.
• Tháng Sáu: có ba đôi thỏ (2 đôi thỏ đầu và đôi thỏ được sinh ra ở tháng Tư) cùng sinh con ở thời điểm này nên đến đây có 3 + 5 = 8 đôi thỏ.

Khái quát, nếu n là số tự nhiên khác 0, gọi f(n) là số đôi thỏ có ở tháng thứ n, ta có:

• Với n = 1 ta được f(1) = 1.
• Với n = 2 ta được f(2) = 1.
• Với n = 3 ta được f(3) = 2.

Do đó với n > 3 ta được: f(n) = f(n-1) + f(n-2).

Điều đó có thể được giải thích như sau: Các đôi thỏ sinh ra ở tháng n -1 không thể sinh con ở tháng thứ n, và ở tháng này đôi thỏ tháng thứ n - 2 sinh ra một đôi thỏ con nên số đôi thỏ được sinh ra ở tháng thứ n chính là giá trị của f(n - 2).

Số các "cụ tổ" của một con ong đực

Fibonacci đã mô tả dãy các tổ tiên của một con ong đực như sau:(Loài ong có thể thụ tinh đơn tính hoặc lưỡng tính).Giả sử rằng:

• Nếu một trứng ong thụ tinh bởi chính con ong cái nó nở thành một con ong đực
• Tuy nhiên, nếu một trứng thụ tinh bởi một ong đực nó nở thành một con ong cái.
• Như vậy một con ong đực sẽ luôn có một mẹ, và một con ong cái sẽ có cả bố và mẹ.

Ta bắt đầu tính số các con ong tổ tiên của một con ong đực. Xét một con ong đực ở thế hệ thứ n. Nhìn vào hình trên ta thấy:

• Trước một đời, thế hệ n-1: Con ong đực chỉ có một mẹ (1 ong cái).
• Trước hai đời, thế hệ n-2: Con ong cái đời n-1 có 2 bố mẹ, một ong bố (đực) và một ong mẹ (cái)(2 con ong: 1 đực+ một cái)).
• Trước ba đời, thế hệ n-3: Con ong cái thế hệ n-2 lại có hai bố mẹ, một ong bố (đực) và một mẹ (cái), và con đực thế hệ n-2 có một mẹ (3 con ong: 1 ong đực + 2 ong cái)
• Trước bốn đời, thế hệ n-4: Hai con cái, mỗi con có 2 cha, mẹ và mỗi con đực có một mẹ (5 con ong: 2 ong đực 3 ong cái)

Tiếp tục quá trình này ta sẽ có một dãy số Fibonacci.

Kết luận

Như vậy, công việc giải quyết hai bài toán trên của Fibonacci dẫn tới việc khảo sát dãy số f(n) xác định:

• f(0)= 0.
• f(1)= 1.
• f(2)= 1.
• f(n)= f(n-1) +f(n-2) với n > 2.

Đó là dãy Fibonacci và các số hạng trong dãy được gọi là các số Fibonacci.